このたびは、米谷榮二先生、佐佐木綱先生という交通工学分野における偉大なパイオニアお二方の名を冠した賞をいただき、たいへん光栄に思っております。このような機会を設けていただきましたシステム科学研究所のみなさま、また選考委員会のみなさまに感謝申し上げます。また、学位論文をご指導くださいました大口敬先生、和田健太郎先生に厚く御礼申し上げます。

　それでは、私の学位論文の内容について紹介させていただきます。学位論文のタイトルは、「動的利用者均衡配分理論に基づく渋滞ネットワークの動的制御方策の構築」というものです。

　まず研究の背景から説明します。現在、道路ネットワーク上では、個別リンクの交通状態把握やそれに基づく制御は実施されている一方で、ネットワーク全体の交通性能を向上させる、実用に耐える制御手法は確立されていません。

　この主な要因は、交通制御による道路利用者の行動変化とそれに伴う交通制御の変化が複雑なフィードバック関係を持っており、交通制御が交通システムの挙動に与える影響の明確な把握が難しいという点にあります。実際に、部分最適の積み重ねが全体最適を実現するとは限らず、交通性能がかえって悪化することもあり得ます。そのため、交通量を適切に制御するためには、「どういった交通制御が交通システムにどのような影響を与えるのか」といったシステムの挙動特性を理解したうえで、望ましい状態を達成するための交通制御方策を構築する必要があります。

　こうしたネットワーク交通流の制御に関する既存の理論研究ですが、これは詳細予測に基づくものと観測に基づくものとの2種類に大別できます。まず、詳細予測に基づくものは、いわゆる交通量配分モデルを用いるものであり、動的システム最適配分問題として広く研究が行われています。ここでは、各リンクの交通状態と、その推移を表現するモデルに基づき、交通システムが最適化される状態、たとえば総旅行時間が最小化されるフロー・パターンを求める問題を構築します。そしてこの問題を解くことで、各リンクをどのように制御すべきかといった交通制御方策に関する知見を得ることになります。

　しかし、このアプローチは詳細予測が前提となる一方、さまざまな理由で信頼性のある予測結果を得ることは難しいという指摘がされています。第一に、この問題は通常、非凸最適化という解くこと自体が非常に難しいクラスの問題となります。また、正確な予測をするためには厖大かつ正確な情報が必要となりますので、これを得ることも難しいのではないかという指摘がされています。加えて、混雑したネットワークでは、入力とする交通需要の変化に対して予測される交通流パターンが大きく変わり得るという予測の困難性も指摘されています。つまり、モデル自体は交通流の理解を行うのに適切なものであるのですが、実際に交通制御を考えるときに、うまく機能するかどうかはわからないという問題があります。

　こうした問題に対応するかたちで、近年、観測情報に基づく交通制御のアプローチ、いわゆるMFD（Macroscopic Fundamental Diagram）を用いた交通制御方策が提案されました。本研究はこちらに着目しています。MFDは、図に示しますように、ネットワークの存在車両台数と、単位時間あたりのトリップを終了する交通量であるスループットとの凸型の関数関係です。MFDは、存在台数が増加して交通渋滞が起こり始めると交通性能が低下するといった関係性を表しています。MFDを通すことで、存在台数のモニタリングから交通性能をリアルタイムに把握することができます。そのためMFDは、詳細予測に頼らないロバストな交通制御方策の基礎となることが期待されています。

　しかしながら、MFDからは集計的なレベルでの交通制御のロジックが得られる一方、実際に制御を行う際に必要となるリンク・レベルの交通制御方策については得ることができないという問題点があります。というのは、MFDでは存在台数という集計的な状態変数を用いているため、各リンク・レベルの交通状態変化がどのようにスループットに影響を与えるのかを解析できる枠組みではないからです。結果、交通制御に対してMFDの形状がどう変化するのかを予測する理論体系は確立されていません。

　こうした交通状態と性能との関係に対する理解の不足は、誤った方向の交通制御を実装しかねません。したがって、観測に基づく交通制御は有望なアプローチではあるのですが、合理的な交通制御を行うためには、リンク・レベルの交通状態からMFD、スループットの挙動特性を解析するための理論が必要となると言えます。

　ここで、スループットを理解する鍵として本研究が着目したのが渋滞パターンというものです。渋滞パターンは、ある存在台数のときの混雑の空間的な分布――ここでは「どのリンクが渋滞しているのか」といった渋滞リンクの空間的な分布であり、存在台数と比較して各リンクの交通状態を詳細に表す交通変数です。

　渋滞パターンは、これまでいくつかの実証研究で、スループットを特徴づける重要な要素であることが示されてきました。具体的には、ある存在台数に対して実現している渋滞パターンが同一であるのであれば、そのときのスループット、つまり存在台数に対する高さも同一であるということが示唆されています。

　本研究のモチベーションはここにあります。すなわち、渋滞パターンがスループットを特徴づけるのであれば、これらを結びつける方法論を確立できないかということです。こうした方法論を確立できれば、スループットの挙動特性を個々の渋滞リンクと関連づけて理解することができるのではないか。そして、その理解に基づいてスループットを改善する渋滞リンクの制御方策を導出できるのではないかと考えました。

　そこで私の学位論文では、渋滞パターンに基づくスループットの解析理論を確立すること、およびその理論に基づいた渋滞リンク制御方策を構築することを目的として研究を行いました。

　加えて本研究では、交通状態と性能間の関係性を解析的に把握するために、unidirectionalネットワークと呼ばれる構造に解析を限定しています。このネットワークは、起点が一つである単一起点ネットワークや、逆に終点が一つである単一終点のような交通流が一方向に流れる構造を持ったネットワークです。こうした構造では、DUEの時間分解法という方法を用いることによって、解析的にスループットを評価できるようになります。

　この方法論を基盤として、本論文では大きく分けて二つの研究を行っています。先ほど溝上先生からスループット解析について紹介していただきましたが、今回は、この研究の基盤でありますDUE配分理論についても理論的な貢献を行っています。それが一つ目の均衡状態の安定性解析というものです。本研究では、均衡状態の解析を行うことになりますが、それにあたっては均衡状態の数理特性を明らかにする必要があります。これに関して本研究で対象とする時間分解ができるunidirectionalネットワーク上のDUEでは、均衡状態の実現性を保証するための性質である安定性は保証されていません。そのため、均衡解析に先立って安定性解析を行うことにしました。

　次に、渋滞パターンに基づくスループット解析・制御理論の構築を行います。ここでは、リアルタイムな交通制御法を構築するために、OD交通需要は未知であるものとした方法論を構築します。具体的には、時々刻々と観測される渋滞パターンを与件として、その渋滞パターン上で流れ得るOD交通流率、すなわちスループットを導出する解析式を構築します。そして、解析式の感度分析に基づいてスループットを改善する渋滞リンクの容量制御方策といったものを導出します。

　では、均衡解の安定性解析から説明させていただきます。安定性とは、交通状態が均衡から離れた際に再び均衡に戻ってくる性質のことです。安定性の重要性は、1956年のBeckmannによって書かれた論文のなかで指摘されており、もし安定でない場合、つまり、その状態からわずかな逸脱が生じたときに交通状態が戻らないのであれば、その状態はめったに起こらない極端な状態であるかもしれないと指摘されています。こうした実現し得ない不安定な状態は、交通システムの特性を探るときのベンチマークとしてもふさわしくありません。したがって、安定均衡の存在証明は、交通計画や制御方策を考えるにあたっても重要な事項であると言えます。

　安定性を解析する方法としては、利用者の経路選択行動を記述するevolutionary dynamicsを仮定したのちに、dynamicsに対するリアプノフ関数の存在性を示すといったアプローチが伝統的にとられてきました。これを行うと、均衡集合への大域的収束性を示すことができます。

　しかしながらこの方法、この関数の存在証明には、経路旅行時間関数の単調性がほぼ必要条件となります。これは簡単に言えば、経路に流入するフローが増加すれば経路の旅行時間も増加するという一見当然の関係性なのですが、にもかかわらず、これは動的配分理論では一般的に成立するものではありません。一つの経路にボトルネックが一つのみ含まれるネットワーク以外では、この図に示すような非常に単純なネットワークでさえ単調性は崩れ得ます。そのため、一般的な構造のネットワークで安定性を調べるためには、新たな解析手法を構築する必要があります。

　このための方法として本研究が着目したのが、DUE配分理論で研究が進められてきた時間分解法という解析手法を粒子モデルから再分析するという方法です。

　まず時間分解法ですが、これはある時刻に対応するフロー・パターンを逐次的に求める問題としてDUE配分問題を分解する手法です。たとえば、この図に示すような基点が一つであるような単一起点ネットワークでは、まず、ある時刻に出発するフローについて均衡となるような経路フロー配分パターンを求めます。そして、それを与件として次の出発時刻の均衡フロー・パターンを求めるというように出発時刻順に解いていくことができます。これは、均衡状態では、ある時刻に出発する車両はより遅く出発する車両に追い越されなくなり、その車両挙動に影響を受けなくなるためです。つまり、より遅く出発する車両のことは考えなくてもよくなるということになります。

　このように分解することで、特定の出発時刻に対応する均衡フロー・パターンが、どのような特性を持つかを調べれば、総体、全時間帯の均衡状態の特性を間接的に調べることができるようになります。

　そして、この分解された問題での安定性を調べるのに有効なのが粒子アプローチ、すなわち１台１台の車両を分割も統合も不可能な粒子として扱ったうえでの解析です。これは一見当たり前のアプローチですが、交通流解析では、伝統的に車両を連続体として取り扱う流体アプローチが主流でした。そのため、ある１台だけではなく、0.8台とか0.2台とか、先ほど示したような配分パターンもあり得るということになります。しかしながらこの場合は、時間分解法を用いても、収束性を示すのにある種の単調性がやはり必要になってきます。

　一方で、粒子アプローチでは、ここに示しますように、出発時刻別の均衡状態は、この１台の車両が最短経路を通っている状態と完全に対応するようになります。つまり単純な最短経路探索問題と等価になるわけです。これを利用すれば、各車両が最短経路を選ぶように経路を変更するというような自然なダイナミクスを想定することで、交通状態は均衡状態へと収束していくことを示すことができます。

　すなわち、時間分解法を適用できるネットワークであれば、経路にボトルネックが複数含まれるケースであったとしても、均衡集合への収束性を証明することができるというわけです。これがリアプノフ関数に代わって構築した本研究の方法となります。

　さらに、この均衡集合への収束性を活用することで、ある特定の均衡状態の安定性をも解析できます。具体的には、本研究では、利用者の経路選択行動にゆらぎが含まれるようなダイナミクスの安定概念である確率安定性の解析を行いました。確率安定性は、こちらの図に示しますように、ゆらぎが小さくなったときの定常分布の収束先、つまり、ゆらぎが小さくなったときに頻繁に観測される交通状態です。こうした状態は、ゆらぎにさらされても尤もらしく実現するような安定状態として解釈することができます。

　これについて、先ほど示したダイナミクスがゆらいだもの、つまり基本的には最短経路に変更するのですが、ときたまミスによって最短経路以外の経路をランダムに選択してしまというシンプルなダイナミクスを想定して解析しました。その結果、こうした経路の調整過程では、確率安定的な均衡状態が存在することを示しました。

　以上がDUEの安定解析となります。まとめると、分解法と粒子アプローチとを組み合わせることによって、均衡状態のさまざまなうれしい理論的性質を示すことができるようになったということになります。

　そして、このようにして安定性まで証明したDUE配分理論を活用して、本研究の最初に言いましたスループット解析、制御解析の構築といったものを行っていきます。

　この図は解析のフレームワークを示しています。まず、通常のDUE配分問題ですが、これは左側の、時々刻々のOD交通需要を入力として、時々刻々の混雑の空間分布、すなわち渋滞パターンを出力しています。これに対して、本研究ではその逆解析を行っています。つまり、時々刻々観測される渋滞パターンを入力として、その渋滞パターンのときに流れ得るOD交通需要を求める問題を考えます。この問題は、存在台数が一定であるという定常条件を設けることで解析的に解くことができます。そしてこれを解くことで、各終点でトリップを終える交通量であるスループットが導出されます。

　具体的な導出過程は省略させていただきますが、その問題を解くことで得られる、定常状態におけるスループットの解析式がこちらになります。この解析式では、まず与件とする渋滞パターンに対応した縮約ネットワークと呼ばれる渋滞リンク同士の接続関係を表現する新たな渋滞パターンを構築します。

　そして、その渋滞パターンの構造情報である行列Aと渋滞リンクの容量情報である行列M、起点、終点ノードの空間的な分布を用いることで、それを代入してスループットを導出することになります。つまり非渋滞のリンクではなく、渋滞したリンクに関する情報がスループットを特徴づけることになります。

　スループット解析について、具体例を用いながら説明していきます。ここに示すように、各リンクの渋滞、非渋滞の情報と、渋滞リンクの捌け交通量であるμ、そして起点・終点の分布が観測されているものとします。この情報に基づいて、まずは縮約ネットワークを構築していきます。これは非渋滞状態にあるリンクと接続するノード、たとえば左の図で青い網掛けをしたようなノードを一つのノードにまとめたモードで構築される、右図のような渋滞リンクのみから構成される渋滞パターンです。縮約ネットワークの構造からはノード・リンク接続行列Aと容量行列Mを得ることができ、それらからVを計算することができます。

　そして、これらを先ほど示した解析式に代入することによって、スループットをこのようにリンク容量の関数として導出することができます。これが渋滞パターンを検討したスループットの解析です。

　この解析式のポイントは、スループットを渋滞リンクの容量を用いて構造化できているという点にあります。スループット自体は各終点でトリップを終える交通量であり、その量、値だけであれば、各終点でのフロー保存則を考えれば容易に導出することができます。つまり、終点ノードへの流入交通量から終点を通過して別終点に向かう通過交通量を差し引けばよいわけです。

　実際に今回導出した解析式の意味自体も、第１項は終点への流入交通量、第２項は終点での通過交通量とフロー保存則を表しています。しかし、解析式はDUEの逆解析を通しているため、この下の図に示していますように、「どのようなリンクの捌け交通量の変化が流入・通過交通量に対してどのような影響を与えるのか」といったことを利用者の経路選択権利を考慮しながら把握できます。これによってスループット変化のメカニズムを理論的に考察することが可能となります。

　実際に本研究では、渋滞延伸によりリンク捌け交通量が低下する状況を想定して解析を行い、スループットが二つのメカニズムによって低下し得ることを明らかにしました。各メカニズムが働く状況を下の図に示しています。一つは、終点に流入するリンクに渋滞が延伸するというもので、ここで言うのであれば、リンクのo−dといったものです。こちらに対して渋滞が延伸して車両が先詰まり、流入交通量が低下することでスループットも低下するブロッキング現象です。

　もう一つは、道路利用者の経路選択による終点通過交通量の増加です。具体的には、図の「2」に示しますように、渋滞延伸によって終点を迂回する経路の機能が低下した場合、それに利用者が対応して、終点を通過するように経路を変更します。この場合だと、たとえばo−i、i−iになっていますね。dとd' のあいだに挟まれているiのノード、そちらの経路を利用してd'に向かうような車両たちがo−d、d−i、i−d' といったようなdを通過するような経路に対して変更し得るということになります。その結果として、流入交通量が変化しない一方で、流出交通量が増加しますので、スループットが低下してしまうということになります。

　まとめると、異なる終点を持つ利用者同士の渋滞を通した相互作用によってスループットが低下することを理論的に明らかにしました。そして、このようにスループットの挙動を理解することによって、その解明した低下メカニズムとそれが働く状況を理解することで、スループットを低下させない、あるいは改善するための合理的な交通制御方策を構築できるようになります。

　これについて本研究では、過飽和時の信号交差点を想定して、制御方策を構築しました。状況としては、これらの図に示すように、ある信号交差点の上下流リンクが渋滞状態にあるものとします。そして、各リンクの容量は飽和交通流率と青時間スプリットの積で与えられており、割り振るスプリットを変化させることでリンク容量を制御できます。こうした状況において、ある渋滞パターンが観測されたときに、スループットを改善するスプリットの制御方策を解析しました。

　その解析の結果から、交差点に接続するリンクの上下流ノードの種類、つまり起点であるか終点であるか、あるいは通過ノードであるかといったローカルな情報のみに基づいて、スループットを改善する交通制御方策を構築できるようになりました。

　得られた交通制御方策について説明していきます。まずは信号交差点が通過ノードであるときの方策です。この表は、スプリットを増強、減少させるリンクの上流ノードの種類と、そのときのスループットの変化の正負を表しています。たとえば、上流ノードが起点であるリンクのスループットを増強し、通過ノードであるリンクのスプリットを減らした場合、スループットの変化は０以上になる。つまりスループットは改善できるということになります。

　この結果からは、信号制御の方針やロジックについて理解することができます。具体的には、通過ノードでは終点通過交通量を減少させることで、終点に流入するリンクの容量を十全に活用できるようにします。そのために、上流ノードの種類に応じて、このようにスプリットを増減させればよいということがわかりました。

　次に、信号制御を行うノードが終点であるときの制御パターンも同様に導出することができます。このときには、終点通過交通量を減少させることに加えて、信号交差点が終点であるので、その終点への流入交通量を増加させることも基本的な制御方針となります。

　具体的には、上流ノードが終点ではないリンクの容量を増強するように制御をすること、そして仮に両リンクの上流ノードが終点ではない場合には、終点への通過交通量を増やすために飽和交通流率の高いリンク容量を増強することによって、スループットを改善できることがわかりました。

　これらの制御のポイントは、各信号交差点が自律分散的に制御を行うことができるということです。これは、渋滞パターンを与件とする解析式には、局所的な交通制御が、利用者の経路選択行動を通じて、ネットワーク全体に与える影響についての情報が含まれているためです。そのため、各信号交差点に接続するリンクのローカルな情報――先ほど言いましたリンクの上下流ノードの種類や飽和交通流率のみに基づいてスループットを改善できるようになります。以上が本研究で提案する交通制御方策となります。

　最後に、実際に交通流が動的に変化していくなかでうまく働いてくれるのかを確認するために数値計算を行っています。数値計算の結果、提案制御によって左図のMFDの容量、捌け交通量が改善したことや、右図の累積曲線から総旅行時間が改善されていることを確認しました。

　最後に本研究の成果をまとめます。まず、均衡解析に先立ってDUEの確率安定性を示しました。ここでは、時間分解法と粒子アプローチを組み合わせることによって、経路旅行時間関数の単調性を必要としない新たな方法論を構築しています。そしてUnidirectional networkにおける確率的安定均衡といったものを示しました。

　次に、均衡解析から渋滞パターンに基づくスループットの解析理論を確立し、渋滞リンク制御方策を構築しました。今回は過飽和時の信号交差点を想定していますが、提案する交通制御の本質は、捌け交通量の制御という汎用的なものであるため、ランプ制御や経路誘導施策といった異なる制御システムに対しても応用が可能です。そのため、本研究は単にMFD理論に対する貢献を行ったのみならず、ネットワーク制御という大きな枠組みのなかで自律分散制御のための理論的基礎を提供する可能性があるものと考えています。

　今後の研究展望ですが、一つは安定的なフロー・パターンの解析とその制御への応用です。本研究では、安定均衡が存在することを示しましたが、その安定均衡がどのようなフローを持つのか、あるいはどのようなコストが実現しているのかについてはよくわかっておりません。これを詳しく調べて、効率的な均衡へと収束させる仕組みづくり、あるいはシステム最適を達成する状態へと収束するようなルール設計、こういったものが、難しいですが、実りの大きい研究の方向性であると思われます。

　次に、本研究で提案する渋滞パターンに基づく制御方策を実装することを考えますと、方法論の一般化が必要となってきます。つまり、一般的な構造を持つネットワークで本研究の理論を拡張していくことが必要になってきます。これについては、理論解析できれいに解けるとは考えにくいため、アルゴリズミックな手続きを踏んだ方法論も必要になると思っています。

　たとえば、解析できる構造にネットワークを縮約・分割したのち、ネットワーク上の解析効果を元のネットワークに適用するといったことが考えられます。そしてさらには、構築した安定性解析とMFD解析とを組み合わせるといったことも考えて、合理的かつ効率的な、新たな交通制御の方法論や視点の探索・展開を行っていきたいとも考えています。

　本研究で構築した方法論はあくまでも基礎的なもので、実際に応用するうえでは、ここに挙げたもの以外にも解決するべきことは多くあります。しかしながら、それらを現実に着実に解決しながらネットワーク交通流解析・制御の理論を発展させることは、交通工学にとっても重要な事項であると考えています。

　以上で発表を終わります。本日は誠にありがとうございました。